Bolg -Electronică – Aplicații ale diodei – Redresoare

Electronică – Aplicații ale diodei – Redresoare

Postat de pe data de 25 aprilie 2020 in categoria Electronica, Electronică Analogică, Introducere in Electronica

image_pdfimage_print

Una din aplicațiile diodei semiconductoare este transformarea tensiunii alternative ( A.C. ) în tensiune continuă ( D.C. ). Această transformare se numește redresare. Diodele care sunt folosite pentru a redresa tensiunea se numesc diode redresoare ( rectifier diode ), iar circuitul electronic care face acest lucru se numește redresor sau circuit redresor.

Redresor = un circuit care conține cel puțin un element neliniar care transformă tensiunea alternativă într-o formă de undă cu componentă continua diferită de 0. Pe lângă componenta continuă, la ieșirea redresorului se obține o componentă variabilă numită ondulație.

Redresorul este un bloc electronic din componența unei surse de curent continuu.

Schema bloc generală a unei surse de curent continuu:

Transformator = coborâtor de tensiune, reduce tensiunea de alimentare alternativă ( 230V, 110V sau altă valoare) la o tensiune , tot alternativă, necesară nouă. Ex: traf de 12V asta înseamnă că el transforma 230V in 12V curent alternativ.

Redresorul = transformă tensiunea alternativă de la ieșirea transformatorului ( din secundarul lui ) în tensiune continuă pulsatorie.

Filtrul = elimină fluctuațiile tensiunii redresate furnizând la ieșire o tensiune continuă relativ constantă.

Consumator = reprezintă sarcina sau dispozitivul care are nevoie de tensiune continuă.

În acest articol vom discuta doar despre blocul redresor ( fără filtraj ).

Există trei ( 3 ) tipuri de circuite redresoare :

  1. redresorul mono alternanță ( Half Wave rectifier )
  2. redresorul dublă alternanță ( Full Wave rectifier )
  3. redresorul dublă alternanță în punte. ( Bridge Wave rectifier )

Înainte de a discuta despre fiecare tip de redresor vom face câteva precizări:

  1. dioda conduce doar într-un singur sens, atunci când este polarizată direct.
  2. tensiunea alternativă are următoarea formă de undă:
  3. din figura de mai sus observăm că tensiunea alternativă trece prin 0, are o alternanță pozitivă și una negativă :
  4. toate sursele de curent continuu conțin redresoare sau blocul redresor.

Toate redresoarele au câteva caracteristici importante de care trebuie să ținem cont când proiectăm și analizăm aceste circuite:

  • forma de undă a curentului de sarcină = redresoarele transformă a.C. în D.C. pulsatoriu și de aceea este important să analizăm curentul ce trece prin sarcină ( consumator ) care va determina forma de undă a tensiunii pe sarcină ( consumator ).
  • stabilizarea tensiunii de ieșire = indiferent de modificarea curentului prin sarcină, tensiunea pe sarcină trebuie să fie constantă. Practic vom studia efectul schimbării curentului de sarcină asupra tensiuni pe sarcină.
  • eficiența redresării ( randamentul redresării ) = cât de eficient se face transformarea puterii A.C. în putere D.C de către circuitul de redresare.
  • valoarea de vârf ( Peak Value ) a curentului în circuitul de redresare = valoarea de vârf a curentului = valoarea maximă a curentului alternativ în circuitul redresor. Informația ne ajută în alegerea diodei folosită în circuitul de redresare.
  • valoare de vârf a tensiunii pe diodă în polarizare inversă = când dioda nu conduce o tensiune inversă este aplicată diodei. Acest parametru ne ajută în alegerea diodei din circuitul redresor.
  • factorul de ondulație ( factorul de riplu ) = ieșirea redresorului este D.C. pulsatoriu. Cantitatea de curent alternativ ( A.C. ) la ieșire se poate calcula matematic , exprimat de factorul de ondulație. Cu cât acest factor este mai mic cu atât performanța este mai bună.

Redresorul mono alternanță ( Half Wave rectifier )

Schema redresorului :

După cum se vede în figura de mai sus, circuitul de redresare este format din : elementul redresor ( dioda D ) și o sursă de tensiune alternativă.

Transformatorul este coborâtor de tensiune și ne dă valoarea tensiunii de vârf din secundar astfel :

\( \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{E_{Sm}}{E_{Pm}} \) , unde :

  • \( N_{1} \) = numărul de spire din primar
  • \( N_{2} \) = numărul de spire din secundar.
  • \( E_{Pm} \) = valoarea de vârf a tensiunii din primar.
  • \( E_{Sm} \) = valoarea de vârf a tensiunii din secundar.

\( e_{S}=E_{Sm} \times \sin ( \, \omega t ) \, \) , unde: \( \omega \) = 2 \( \pi \) f , iar f= frecventa tensiunii alternative.

În schemă, lângă dioda D, este notația \( R_{f} \) = rezistența diodei la polarizare directă.

Cum funcționează redresorul mono alternanță.

În timpul alternanței pozitive punctul A devine mai pozitiv în raport cu punctul B, astfel dioda D este polarizată direct și permite trecerea curentului prin sarcina \( R_{L} \) . Când apare alternanța negativă punctul A devine mai negativ în raport cu punctul B, iar dioda D este polarizată invers și este blocată.

În figura următoare este prezentată funcționarea :

După cum se vede în figura de mai sus ieșirea redresorului este pulsatorie.

Formule și calcule necesare proiectării.

Curentul de sarcină ( IDC ):

Știm: \begin{matrix}
i_{L} = I_{m} \sin ( \, \omega t ) \ , pentru \ 0<\omega t < \pi \ ( alternanta \ pozitiva ) \\
i_{L} = 0 \ , pentru \ \pi<\omega t<2 \pi \ ( alternanta \ negativa )
\end{matrix}

\( I_{m} \) = valoarea de vârf a curentului de sarcină.

Atunci vom avea :

\( I_{DC} = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} i_{L} d(\, \omega t )\, = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} I_{m} \sin (\, \omega t )\, d(\, \omega t )\,\)

\( I_{DC} = \frac{I_{m}}{\pi } \) ,unde \(I_{m} = \frac{E_{Sm}}{R_{f}+R_{s}+R_{L}} \)

Tensiunea continuă pe sarcină ( \( E_{DC} \) ):

\( \left. \begin{matrix}
E_{DC} = I_{DC} \bullet R_{L}\\
I_{DC} = \frac{I_{m}}{\pi}
\end{matrix} \right \} \Rightarrow \left. \begin{matrix}
E_{DC} = \frac{I_{m}}{\pi} \bullet R_{L} = \frac{E_{Sm}}{ (\, R_{f}+R_{s}+R_{L} )\, \bullet \pi} \bullet R_{L}\\
R_{f} +R_{s}<<R_{L} \end{matrix} \right \} \Rightarrow E_{DC} = \frac{E_{Sm}}{\pi} \)

\( \Large E_{DC} = \frac{E_{Sm}}{\pi} \)

Valoarea R.M.S a curentului de sarcină ( \( I_{RMS} \) ):

\( I_{RMS} = \frac{I_{m}}{2} \)

Valoarea RMS a tensiunii pe sarcină ( \( E_{L_{RMS}} \) ):

\( \left. \begin{matrix} E_{L_{RMS}} = I_{RMS} \bullet R_{L} = \frac{I_{m}}{2} \bullet R_{L} =
\frac{E_{Sm}}{2 (\, R_{f} + R_{s} +R_{L} )\, } \bullet R_{L} \\
R_{f} +R_{s}<<R_{L} \end{matrix} \right \} \Rightarrow \Large E_{L_{RMS}} = \frac{E_{Sm}}{2} \)

Puterea la iesire ( \( P_{DC} \) ):

\( P_{DC} = E_{DC} \bullet I_{DC} = I_{DC}^2 \bullet R_{L} \) ,sau

\( P_{DC} = \frac{E_{Sm}^2}{\pi^2} \)

Puterea de intrare ( \( P_{AC} \) ):

\( \left. \begin{matrix}
P_{AC} = I_{RMS}^2 \bullet (\, R_{L}+R_{f} + R_{s} )\,\\
I_{RMS} = \frac{I_{m}}{2}
\end{matrix} \right \} \Rightarrow \left. \begin{matrix}
P_{AC} = \frac{I_{m}^2}{4} \bullet (\, R_{L}+ R_{f} +R_{s} )\, \\
R_{f} +R_{s}<<R_{L} \end{matrix} \right \} \Rightarrow \Large P_{AC} = \frac{I_{m}^2}{4} \bullet R_{L} \)

Randamentul redresării ( \( \eta \) ):

\( \eta = \frac{P_{DC}}{P_{AC}} \)

\( \left. \begin{matrix}
\eta = \frac{0,406}{(\, R_{f}+R_{s}+R_{L} )\,} \bullet R_{L}\\
R_{f} +R_{s}<<R_{L}
\end{matrix} \right \} \Rightarrow \eta = 0,406 \)

%\( \eta_{max} \) = 0,406 x 100 = 40,6% \( \Rightarrow \) maxim 40,6% din puterea alternativă este transformată în putere continuă, restul de 60% este prezentă sub formă de riplu la ieșirea redresorului.

Factorul de ondulație ( \( \gamma \) ):

\( \gamma = \frac{\sqrt{I_{RMS}^2 – I_{DC}^2}}{I_{DC}} = \sqrt{\frac{I_{RMS}}{I_{DC}}^2 – 1} \)

\( \gamma_{mono alternanta} = 1,211. \)

Tensiunea de vârf inversă pe diodă :

\( V_{PI} = E_{Sm}=\pi \bullet E_{DC} \), când \( I_{DC} = 0 \)

Efectul barierei de potențial ( \( V_{R_{L}} \) ):

\( V_{R_{L}}=E_{Sm}-0,7 \)

Redresorul mono alternanță are multe dezavantaje de aceea nu prea este utilizat în practică, dar este un bun exemplu pentru a înțelege redresarea.

Spre finalul acestui articol vă propun un exemplu de redresor mono alternanță, cu tot cu calcul și simulare, pentru o mai bună înțelegere a redresării.

Redresorul dublă alternanță ( Full Wave rectifier )

Schema redresorului dublă alternanță :

, unde \( e_{S} = E_{Sm} \sin (\, \omega t )\, \)

Cum funcționează redresorul dublă alternanță.

Când avem alternanța pozitivă, punctul A este mai pozitiv în raport cu punctul B ceea ce înseamnă că dioda D1 va conduce iar dioda D2 va fi blocată ca în figura următoare :

În acest caz curentul de sarcină \( i_{L} = i_{d1} \).

Când avem alternanța negativă punctul A este mai negativ în raport cu punctul B ceea ce înseamnă că dioda D2 va conduce iar dioda D1 va fi blocată, ca în figura următoare :

În acest caz curentul de sarcină \( i_{L} = i_{d2} \).

Putem spune: redresorul dublă alternanță constă din două circuite redresoare mono alternanță ce lucrează independent unul de altul dar ” hrănind” aceiași sarcină (consumator ).

OBS!!! Ieșirea este tot pulsatorie!!!!

Formule și calcule necesare proiectării.

Curentul maxim pe sarcină ( \( I_{m} \) )

\(I_{m} = \frac{E_{Sm}}{R_{f}+R_{s}+R_{L}} \)

Curentul de sarcină ( \( I_{DC} \) ):

\( I_{DC} = \frac{2I_{m}}{\pi } \)

Tensiunea continuă pe sarcină ( \( E_{DC} \) ):

\( \left. \begin{matrix}
E_{DC} = I_{DC} \bullet R_{L}\\
I_{DC} = \frac{2I_{m}}{\pi}
\end{matrix} \right \} \Rightarrow \left. \begin{matrix}
E_{DC} = \frac{2I_{m}}{\pi} \bullet R_{L} = \frac{2E_{Sm}}{ (\, R_{f}+R_{s}+R_{L} )\, \bullet \pi} \bullet R_{L}\\
R_{f} +R_{s}<<R_{L} \end{matrix} \right \} \Rightarrow E_{DC} = \frac{2E_{Sm}}{\pi} \)

\( \Large E_{DC} = \frac{2E_{Sm}}{\pi} \)

Valoarea R.M.S a curentului de sarcină ( \( I_{RMS} \) ):

\( I_{RMS} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \)

Valoarea RMS a tensiunii pe sarcină ( \( E_{L_{RMS}} \) ):

\( \left. \begin{matrix} E_{L_{RMS}} = I_{RMS} \bullet R_{L} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \bullet R_{L} \\
\end{matrix} \right \} \Rightarrow \Large E_{L_{RMS}} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \bullet R_{L} \)

Puterea la iesire ( \( P_{DC} \) ):

\( P_{DC} = E_{DC} \bullet I_{DC} = I_{DC}^2 \bullet R_{L} \)

Puterea de intrare ( \( P_{AC} \) ):

\( \left. \begin{matrix}
P_{AC} = I_{RMS}^2 \bullet (\, R_{L}+R_{f} + R_{s} )\,\\
I_{RMS} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}
\end{matrix} \right \} \Rightarrow \left. \begin{matrix}
P_{AC} = \frac{I_{m}^2}{2} \bullet (\, R_{L}+ R_{f} +R_{s} )\, \\
R_{f} +R_{s}<<R_{L} \end{matrix} \right \} \Rightarrow \Large P_{AC} = \frac{I_{m}^2}{2} \bullet R_{L} = \frac{E_{Sm}^2}{2R_{L}} \)

Randamentul redresării ( \( \eta \) ):

\( \eta = \frac{P_{DC}}{P_{AC}} =\frac{8}{\pi^2} \)

%\( \eta_{max} = \frac{8}{\pi^2} \) x 100 = 81,2% \( \Rightarrow \) maxim 81,2% din puterea alternativă este transformată în putere continuă, restul de 18,8% este prezentă sub formă de riplu la ieșirea redresorului.

Factorul de ondulație ( \( \gamma \) ):

\( \gamma = \sqrt{\left ( \frac{I_{RMS}}{I_{DC}} \right )^2 – 1} = 0,48 \)

Tensiunea de vârf inversă pe diodă :

\( V_{PI} = 2E_{Sm}=\pi \bullet E_{DC} \), când \( I_{DC} = 0 \)

Spre finalul acestui articol vă propun un exemplu de redresor mono alternanță, cu tot cu calcul și simulare, pentru o mai bună înțelegere a redresării.

Redresor dublă alternanță în punte (Bridge Wave rectifier )

Schema redresorului dublă alternanță în punte :

Cum funcționează redresorul dublă alternanță.

Când avem alternanța pozitivă a tensiunii de intrare diodele D1, D2 sunt polarizate direct ducând la deschiderea lor iar curentul va circula prin sarcină. Diodele D3, D4 sunt blocate.

Când avem alternanța negativă a tensiunii de intrare diodele D3, D4 sunt polarizate direct ducând la deschiderea lor iar curentul va circula prin ele și prin sarcină. Diodele D1, D2 sunt blocate.

Formule și calcule necesare proiectării.

Curentul maxim pe sarcină ( \( I_{m} \) ):

\(I_{m} = \frac{E_{Sm}}{R_{f}+R_{s}+R_{L}} \)

Curentul de sarcină ( \( I_{DC} \) ):

\( I_{DC} = \frac{2I_{m}}{\pi } \)

Tensiunea continuă pe sarcină ( \( E_{DC} \) ):

EDC=IDCRLIDC=2Imπ}EDC=2ImπRL=2ESm(Rf+Rs+RL)πRLRf+Rs<<RL}EDC=2ESmπ

EDC=2ESmπ

Valoarea R.M.S a curentului de sarcină ( \( I_{RMS} \) ):

\( I_{RMS} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \)

Puterea la iesire ( \( P_{DC} \) ):

\( P_{DC} = E_{DC} \bullet I_{DC} = I_{DC}^2 \bullet R_{L} =\frac{4}{\pi^2} \bullet I_{m}^2 \bullet R_{L} \)

Puterea de intrare ( \( P_{AC} \) ):

\( P_{AC} = I_{RMS}^2 \bullet (\, R_{L}+R_{f} + R_{s} )\, \)

Randamentul redresării ( \( \eta \) ):

\( \eta = \frac{P_{DC}}{P_{AC}} =\frac{8}{\pi^2} \)

% \( \eta_{max} = \frac{8}{\pi^2} \) x 100 = 81,2% \( \Rightarrow \) maxim 81,2% din puterea alternativă este transformată în putere continuă, restul de 18,8% este prezentă sub formă de riplu la ieșirea redresorului.

Factorul de ondulație ( \( \gamma \) ):

\( \gamma = \sqrt{\left ( \frac{I_{RMS}}{I_{DC}} \right )^2 – 1} = 0,48 \)

Tabel de comparații între redresoare:

Nr.CrtParametrumono alternanțădublă alternanțăîn punte
1Număr de diode124
2Curentul mediu pe sarcină ( \( I_{DC} \) )\( \Large \frac{I_{m}}{\pi} \)\( \Large \frac{2I_{m}}{\pi} \)\( \Large \frac{2I_{m}}{\pi} \)
3Tensiunea medie pe sarcină ( \( E_{DC} \) )\( \Large \frac{E_{Sm}}{\pi} \)\( \Large \frac{2E_{Sm}}{\pi} \)\( \Large \frac{2E_{Sm}}{\pi} \)
4Curentul pe sarcină R.M.S ( \( I_{RMS} \) )\( \Large \frac{I_{m}}{2} \)\( \Large \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \)\( \Large \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \)
5Puterea de ieșire ( \( P_{DC} \) )\( \Large \frac{I_{m}^2 \bullet R_{L}}{\pi^2} \)\( \Large \frac{4}{\pi^2} I_{m}^2 R_{L} \)\( \Large \frac{4}{\pi^2} I_{m}^2 R_{L} \)
6Puterea de intrare ( \( P_{AC} \) )\( \Large \frac{I_{m}^2 (\, R_{L}+R_{f}+R_{s} )\,}{4} \)\( \Large \frac{I_{m}^2 (\, R_{L}+R_{f}+R_{s} )\,}{2} \)\( \Large \frac{I_{m}^2 (\, R_{L}+2R_{f}+R_{s} )\,}{2} \)
7Randamentul maxim al redresării ( \( \eta \) )40,6%81,2%81,2%
8Factorul de ondulație ( \( \gamma \) )1,210,480,48
9Curentul maxim pe sarcină ( \( I_{m} \) )\( \Large \frac{E_{Sm}}{ (\, R_{L}+R_{f}+R_{s} )\, } \)\( \Large \frac{E_{Sm}}{ (\, R_{L}+R_{f}+R_{s} )\, } \)\( \Large \frac{E_{Sm}}{ (\, R_{L}+2R_{f}+R_{s} )\, } \)
10Tensiunea inversă pe diodă \( E_{Sm} \)\( 2 E_{Sm} \)\( E_{Sm} \)

Exemplu – Redresor mono – alternanță

Dorim să proiectăm un redresor mono alternanță alimentat de pa priză, 230v A.C. , la ieșire să avem 5V D.c. și să suporte un curent maxim de 2 A.

Ce cunoaștem din enunț:

  • Im = valoarea de vârf a curentului de sarcină = 2A
  • EDC = tensiunea continuă medie pe sarcină = 5V D.C
  • EPm = valoarea de vârf a tensiunii din primarul transformatorului = 230V A.C

Să începem calculele:

Curentul mediu pe sarcină :

IDC=Imπ=2Aπ=0,63A=630mA

Valoarea de vârf în secundar:

\( E_{DC} = \frac{E_{Sm}}{\pi} \Rightarrow E_{Sm} = E_{DC} \bullet \pi = 5V \bullet \pi = 15,7V \)

ESm=2EsEs=ESm2=15,72=11,13 aceasta este valoarea tensiunii ce trebuie să o avem în secundar, adică transformatorul va fi 230V / 12V.

Sarcina :

\( E_{DC} = I_{DC} \bullet R_{L} \Rightarrow R_{L} = \frac{E_{DC}}{I_{DC}} = 8 \Omega \)

Valoarea RMS a curentului de sarcină

\( I_{RMS} = \frac{I_{m}}{2} = \frac{2A}{2} = 1A \)

Puterea de iesire:

\( P_{DC} = I_{DC} \bullet E_{DC} = 3,5W \)

Puterea de intrare :

PAC=I2RMSRL=8W

Randamentul redresării :

%\( \eta = \frac{P_{DC}}{P_{AC}} \bullet 100 = 39,3 \) %

Tensiunea inversă pe diodă:

PIV = \( E_{Sm} \) = 15,7 V

Folosind aceste date putem alege piesele electronice:

  1. Transformator : 230V / 12V
  2. Dioda: 1N5400 ( pentru a alege dioda ne folosim de valorile curentului maxim pe sarcină și de tensiunea inversă pe diodă, apoi căutăm o diodă cu valori identice sau mai mari )

Mai jos aveți poze cu simularea acestui exemplu.

Observați ca valorile afișate de către aparatele de măsură ( voltmetru, ampermetru, osciloscop ) sunt puțin diferite dar nu cu mult și anume:

  1. tensiunea de vârf pe sarcină afișată de osciloscop = \( E_{s} – 0,7V = 15V \)
  2. tensiunea medie redresată afișată de voltmetru = \( \frac{15}{\pi} =4,777 V \)

Exemplu – Redresor dublă – alternanță

Dorim să proiectăm un redresor mono alternanță alimentat de pa priză, 230v A.C. , la ieșire să avem 5V D.c. și să suporte un curent maxim de 2 A.

Ce cunoaștem din enunț:

  • Im = valoarea de vârf a curentului de sarcină = 2A
  • EDC = tensiunea continuă medie pe sarcină = 5V D.C
  • EPm = valoarea de vârf a tensiunii din primarul transformatorului = 230V A.C

Să începem calculele:

Curentul mediu pe sarcină :

\( I_{DC} = \frac{2I_{m}}{\pi} \Rightarrow I_{DC} =\frac{2\bullet 2A}{\pi} = 1,72A \)

Valoarea de vârf în secundar:

\( E_{DC} = \frac{2E_{Sm}}{\pi} \Rightarrow E_{Sm} = \frac{E_{DC} \bullet \pi}{2} = \frac{5V \bullet \pi}{2} \bullet = 7,85V \)

\( E_{s} = \frac{E_{Sm}}{\sqrt{2}} \Rightarrow E_{S} = \frac{7,85V}{\sqrt{2}} =5,56 V \) aceasta este valoarea tensiunii ce trebuie să o avem în secundar, adică transformatorul va fi 230V / 6V.

Sarcina :

\( E_{DC} = I_{DC} \bullet R_{L} \Rightarrow R_{L} = \frac{E_{DC}}{I_{DC}} = \frac{5V }{1,72A} = 2,9 \Omega \)

Valoarea RMS a curentului de sarcină:

\( I_{RMS} =\frac{I_{m}}{\sqrt{2}} = \frac{2A }{\sqrt{2}} = 1,41 A \)

Puterea de iesire:

\( P_{DC} = E_{DC} \bullet I_{DC} = 5 V \bullet 1,72A= 8,6 W \)

Puterea de intrare :

\( P_{AC} =\frac{E_{Sm}^2}{2R_{L}} = \frac{7,85^2 }{2 \bullet 2,9 \omega} = 10,62 W \)

Randamentul redresării :

%\( \eta =\frac{P_{DC}}{P_{AC}} \bullet 100= \frac{8,6 W}{10,62 W} \bullet 100= 80,9 \)%

Tensiunea inversă pe diodă:

\( PIV =2E_{Sm} =2 \bullet 7,85V=15,7V \)

Folosind aceste date putem alege piesele electronice:

  1. Transformator : 230V / 6V
  2. Dioda: 1N5400 ( pentru a alege dioda ne folosim de valorile curentului maxim pe sarcină și de tensiunea inversă pe diodă, apoi căutăm o diodă cu valori identice sau mai mari )

Mai jos aveți poze cu simularea acestui exemplu.

Observați ca valorile afișate de către aparatele de măsură ( voltmetru, ampermetru, osciloscop ) sunt puțin diferite dar nu cu mult și anume:

Vă rog sa comparați formele de undă de la redresorul mono alternanță cu forma de undă de la redresorul dublă alternanță!!!!!

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Acest sit folosește Akismet pentru a reduce spamul. Află cum sunt procesate datele comentariilor tale.



Insert math as
Block
Inline
Additional settings
Formula color
Text color
#333333
Type math using LaTeX
Preview
\({}\)
Nothing to preview
Insert